Opção de modelo de árvore binária

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Assista ao Preço da Opção Binária Americana: Modelo de Árvore Binomial de 3 Períodos - Preço da Opção Digital.
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Visão geral do suporte a árvore binária.
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Opção de modelo de árvore binária
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Árvores binárias no SQL.
Várias hierarquias e redes são mais convenientemente modeladas como árvores binárias. Então, qual é a melhor maneira de representá-los no SQL? Joe descarta a solução Nested Set em favor de uma solução surpreendentemente eficiente baseada no heap binário.
Isso fez com que eu parasse para pensar: eu estava fazendo uma varredura nos fóruns do SQL Server Central quando me deparei com um tópico postado por "mahbub422 & # 8221 ;. Seu problema era como modelar uma árvore binária. O que ele escreveu foi um modelo de Lista de Adjacência modificado, usando um sinalizador para limitar o tamanho da subárvore.
Certamente, pensei, deve haver uma maneira melhor de fazer isso?
A árvore da lista de adjacências.
Para ilustrar o ponto que ele chegou, limpei o código um pouquinho (mudei para nomes de elementos de dados ISO-11179, adicionei restrições, encurtei um nome de 100 caracteres, removi um registro de data e hora de auditoria). , remover uma IDENTIDADE, fez o sinalizador CHAR (1) ao invés de INTEGER, etc) ele postou essa tabela. Eu mudei o nome da tabela para este artigo. Ei, eu só quero mostrar o esqueleto.
Há problemas com esse design de tabela, como o uso de IDENTIDADE e sinalizadores. E root não é nem à esquerda nem à direita, eu acho que tem que ser um NULL.
A lista de adjacências é uma maneira de "fingir & # 8221; cadeias de ponteiro, o método tradicional de programação em linguagens procedurais para manipulação de árvores. É aqui que obtemos termos como & # 8220; pai & # 8221 ;, & # 8220; criança & # 8221 ;, & # 8220; link & # 8221; e assim por diante; estes são termos clássicos da linguagem de montagem.
Existem grandes problemas com o modelo simples de Lista de Adjacência e esta versão é ainda mais complicada.
Você precisa evitar órfãos em qualquer árvore. Ou seja, para ser uma árvore, deve haver um caminho de cada nó de volta para o nó raiz. Este esquema falha:
Você precisa evitar ciclos. Ou seja, ninguém é seu próprio patrão. A restrição mais simples para isso é CHECK (parent_node_id & lt; & gt; node_id) e surpreende-me que quase ninguém se importe com isso. Mas depois disso, requer um gatilho que segue os caminhos da raiz. Este esquema falha conforme escrito.
O primeiro pensamento é que você pode restringir este modelo com uma simples contagem dos filhos:
Isso não é o suficiente. Também precisamos exigir que tenhamos no máximo uma criança esquerda e no máximo uma criança certa. Aqui está um jeito:
Existem outras restrições que fazem do gráfico uma árvore. Sabemos que o número de arestas em uma árvore é o número de nós menos um, então este é um gráfico conectado. Essa restrição é assim:
Eu estou mostrando esta restrição e outros como cláusulas CHECK (), mas você terá que usar TRIGGER no SQL Server; Eu estou com preguiça em manter o código o mais curto que posso.
A solução de conjunto aninhado.
Neste ponto, meus leitores regulares estão esperando que eu retire o Modelo de Conjunto Aninhado, já que escrevi muito sobre isso ao longo dos anos. Se você não sabe como funciona, pode fazer o Google ou obter uma cópia do meu TREES & amp; Livro HIERARCHIES (ISBN: 978-1-55860-920-4)
node_name lft rgt.
Uma coisa legal é que o nome de cada nó aparece uma vez e somente uma vez na tabela. Evita ciclos facilmente e órfãos não são possíveis. Agora aqui estão os kickers! Como você escreve uma restrição para garantir que esta seja uma árvore binária? Aqui está um jeito:
Sim, isso é um código feio. E a maioria dos programadores de SQL não sabe sobre os predicados ALL (). Veja se você pode escrever uma restrição mais simples.
A pilha binária.
As árvores binárias têm muitas propriedades matemáticas conhecidas. Por exemplo, o número de árvores binárias distintas com (n) nós é chamado de número catalão e é dado pela fórmula ((2n)! / ((N + 1)! N!)). A literatura está cheia de vários tipos de árvores binárias:
Árvore binária perfeita: uma árvore binária na qual cada nó tem exatamente zero ou dois filhos e todos os nós folha estão no mesmo nível. Uma árvore binária perfeita tem exatamente ((2 ^ h) -1) nós, onde (h) é a altura. Toda árvore binária perfeita é uma árvore binária completa e uma árvore binária completa. Árvore binária balanceada: uma árvore binária onde nenhuma folha é mais do que uma certa quantidade mais distante da raiz do que qualquer outra folha. Veja também a árvore AVL, a árvore vermelho-preto, a árvore com equilíbrio de altura, a árvore com equilíbrio de peso e a árvore-B. Árvore AVL: Uma árvore binária balanceada onde as alturas das duas subárvores com raiz em um nó diferem uma da outra em no máximo uma. A estrutura é nomeada para os inventores, Adelson-Velski e Landis (1962). Árvore equilibrada em altura: uma árvore cujas subárvores diferem em altura em não mais do que uma e as subárvores são equilibradas em altura também. Uma árvore vazia é equilibrada em altura. Uma árvore binária pode ser inclinada para um lado ou para o outro. Como exemplo extremo, imagine uma árvore binária com apenas filhos à esquerda, tudo em linha reta. A situação ideal é ter uma árvore binária balanceada & # 8212; um que é tão superficial quanto possível porque em cada subárvore as crianças da esquerda e da direita são do mesmo tamanho ou não mais do que um nó diferente. Isso nos dará um pior tempo de busca de tentativas de LOG2 (n) para um conjunto de (n) nós. Árvore de Fibonacci: Uma variante de uma árvore binária onde uma árvore de ordem (n) onde (n & gt; 1) tem uma subárvore esquerda de ordem n-1 e uma subárvore direita de ordem (n-2). Uma ordem 0 Árvore de Fibonacci não possui nós, e uma árvore de ordem 1 possui 1 nó. Uma árvore de ordem de Fibonacci (n) tem (F (n + 2) - 1) nós, onde F (n) é o número de Fibonacci do n-ésimo. Uma árvore Fibonacci é a árvore AVL mais desequilibrada possível.
A árvore binária em que estamos interessados ​​é chamada de heap. É usado para o HeapSort, que apareceu pela primeira vez em J. W. J. Williams & # 8217; artigo publicado na edição de junho de 1964 do Communications of the ACM, intitulado & # 8220; Algoritmo número 232 & # 8211; Heapsort Atualmente, há um artigo sobre o uso de uma versão de um heap para acesso a dados em um ambiente de máquina virtual, "Pense que você domina a arte do desempenho do servidor?" Pense de novo & # 8217 ;. por Poul-Henning Kamp.
Comece com uma matriz unidimensional simples e coloque o valor da raiz em A [1], depois a criança esquerda em A [2] e a criança certa em A [3]. Em geral, o filho esquerdo da raiz da subárvore na localização (n) da matriz é A [2 * n] e o filho direito é A [2 * n +1].

Exemplos Para entender o modelo de precificação da opção binomial.
É bastante desafiador concordar com o preço exato de qualquer ativo negociável, mesmo nos dias atuais. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa dificilmente muda sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua avaliação mudam a cada segundo. Isso mostra a dificuldade em chegar a um consenso sobre o preço atual para qualquer ativo negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são realmente de curta duração.
Tudo se resume à avaliação atual - qual é o preço atual correto hoje para um retorno futuro esperado?
Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas de pagamento idênticas devem ter o mesmo preço. A avaliação de opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. O Black-Scholes continua sendo um dos modelos mais populares usados ​​para opções de preços, mas tem suas próprias limitações. (Para mais informações, consulte: Preços de Opções). O modelo de precificação de opções binomial é outro método popular usado para opções de precificação. Este artigo discute alguns exemplos detalhados passo a passo e explica o conceito neutro de risco subjacente na aplicação desse modelo. (Para leitura relacionada, consulte: Desmembrando o modelo binomial para avaliar uma opção).
Este artigo pressupõe familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados.
Suponha que exista uma opção de compra em uma determinada ação cujo preço de mercado atual seja de $ 100. A opção de caixa eletrônico tem preço de exercício de US $ 100 com o prazo de um ano. Há dois traders, Peter e Paul, que concordam que o preço das ações subirá para US $ 110 ou cairá para US $ 90 dentro de um ano. Ambos concordam com os níveis de preços esperados em um determinado período de tempo de um ano, mas discordam sobre a probabilidade do movimento para cima (e para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a US $ 110 é de 60%, enquanto Paul acredita que seja de 40%.
Com base no acima exposto, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra?
Possivelmente, Peter, como ele espera alta probabilidade do movimento para cima.
Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos dos quais a avaliação depende são a opção de compra e o estoque subjacente. Há um acordo entre os participantes de que o preço das ações subjacentes pode passar dos atuais US $ 100 para US $ 110 ou US $ 90 no período de um ano, e não há outros movimentos de preço possíveis.
Em um mundo livre de arbitragem, se tivermos que criar um portfólio que inclua esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes) de tal forma que independentemente de onde o preço subjacente estiver (US $ 110 ou US $ 90), o retorno líquido da carteira permanece sempre o mesmo . Suponha que compremos 'd' ações da opção subjacente e uma opção de compra curta para criar esse portfólio.
Se o preço for para US $ 110, nossas ações valerão US $ 110 * d e perderemos US $ 10 em pagamento de chamadas curtas. O valor líquido de nossa carteira será (110d - 10).
Se o preço cair para US $ 90, nossas ações valerão US $ 90 * d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será de (90d).
Se quisermos que o valor de nossa carteira permaneça o mesmo, independentemente de onde o preço da ação subjacente estiver, então o valor de nossa carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, ou seja:
ou seja, se comprarmos metade de uma ação (assumindo que as compras fracionais são possíveis), conseguiremos criar uma carteira de tal forma que seu valor permaneça o mesmo em ambos os estados possíveis dentro do prazo de um ano. (ponto 1)
Esse valor do portfólio, indicado por (90d) ou (110d -10) = 45, é de um ano abaixo da linha. Para calcular seu valor presente, pode ser descontado pela taxa de retorno livre de risco (assumindo 5%).
= & gt; 90d * exp (-5% * 1 ano) = 45 * 0,9523 = 42,85 = & gt; Valor presente do portfólio.
Como atualmente, a carteira é composta de ½ ação do estoque subjacente (com preço de mercado de $ 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor presente calculado acima, ou seja,
= & gt; 1/2 * 100 - 1 * preço de chamada = 42,85.
= & gt; Preço da chamada = US $ 7,14, ou seja, o preço da chamada a partir de hoje.
Como isso é baseado na suposição acima de que o valor da carteira permanece o mesmo independentemente de como o preço subjacente vai (ponto 1 acima), a probabilidade de movimento para cima ou para baixo não desempenha nenhum papel aqui. A carteira permanece livre de risco, independentemente dos movimentos de preço subjacentes.
Em ambos os casos (presumindo-se que esteja em alta para US $ 110 e em baixa para US $ 90), nossa carteira é neutra ao risco e ganha a taxa de retorno livre de risco.
Assim, tanto os traders, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar os mesmos US $ 7,14 por esta opção de compra, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos para cima (60% e 40%). Suas probabilidades percebidas individualmente não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, conforme visto no exemplo acima.
Se supor que as probabilidades individuais são importantes, então existiriam oportunidades de arbitragem. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com diferenciais de preço menores e desaparecem em um curto prazo.
Mas onde está a volatilidade muito esperada em todos esses cálculos, o que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço das opções?
A volatilidade já está incluída pela natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome “binomial”) estados de níveis de preço (US $ 110 e US $ 90). A volatilidade está implícita nesta suposição e, portanto, incluída automaticamente - 10% de qualquer forma (neste exemplo).
Agora, vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se nossa abordagem é correta e coerente com os preços comumente usados ​​da Black-Scholes. (Veja: O Modelo de Avaliação de Opções Black-Scholes).
Aqui estão as capturas de tela dos resultados da calculadora de opções (cortesia da OIC), que corresponde de perto ao nosso valor computado.
Infelizmente, o mundo real não é tão simples quanto "apenas dois estados". Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o vencimento.
É possível incluir todos esses múltiplos níveis em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis? Sim, é muito possível, e para entender isso, vamos entrar em uma matemática simples.
Algumas etapas intermediárias de cálculo são ignoradas para mantê-lo resumido e focado nos resultados.
Para prosseguir, vamos generalizar esse problema e solução:
"X" é o preço de mercado atual do estoque e "X * u" e "X * d" são os preços futuros para os movimentos de subida e descida "t" anos depois. O fator 'u' será maior que 1, já que indica a movimentação para cima e 'd' ficará entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u = 1,1 ed = 0,9.
Os payoffs das opções de compra são "P up" e "P dn" para movimentos para cima e para baixo, no momento da expiração.
Se criarmos um portfólio de ações de 's' compradas hoje e uma opção de compra curta, depois da hora 't':
Valor do portfólio no caso de up move = s * X * u - P up.
Valor da carteira em caso de baixa de movimento = s * X * d - P dn.
Para avaliação semelhante em qualquer caso de movimento de preço,
= & gt; s = (P up - Pnn) / (X * (u-d)) = o não. de ações a serem compradas para carteira livre de risco.
O valor futuro da carteira no final de "t" anos será.
O valor atual acima pode ser obtido descontando-o com taxa de retorno livre de risco:
Isso deve corresponder à participação da carteira de ações de 's' no preço X, e o valor de chamada curta 'c', ou seja, a retenção atual de (s * X - c) deve ser igual a acima. Resolvendo para c finalmente dá c como:
SE CURTAMOS O PRÊMIO DE CHAMADA DEVERÁ SER ADIÇÃO AO PORTFÓLIO NÃO SUBTRAÇÃO.
Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte maneira:
então acima da equação se torna.
Reorganizando a equação em termos de "q" ofereceu uma nova perspectiva.
"Q" agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como "q" está associado a P up e "1-q" está associado a P dn). No geral, a equação acima representa o preço da opção atual, ou seja, o valor descontado de seu pagamento no vencimento.
Como esta probabilidade “q” é diferente da probabilidade de subir ou descer do subjacente?
O valor do preço da ação no momento t = q * X * u + (1-q) * X * d.
Substituindo o valor de q e rearranjando, o preço da ação no momento t chega.
ou seja, neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta pela taxa livre de risco de retorno, ou seja, exatamente como um ativo livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo de risco neutro.
A probabilidade “q” e “(1-q)” são conhecidas como probabilidades neutras ao risco e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação neutro ao risco.
O exemplo acima tem um requisito importante - a estrutura de pagamento futura é necessária com precisão (nível $ 110 e $ 90). Na vida real, essa clareza sobre níveis de preços baseados em etapas não é possível; em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em múltiplos níveis.
Vamos expandir o exemplo ainda mais. Suponha que os níveis de preços de duas etapas sejam possíveis. Conhecemos os payoffs finais da segunda etapa e precisamos avaliar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial)
Trabalhando de trás para frente, a avaliação intermediária do primeiro passo (em t = 1) pode ser feita usando os payoffs finais no passo dois (t = 2), e então usando essa avaliação calculada do primeiro passo (t = 1), a avaliação atual (t = 0) pode ser alcançado usando os cálculos acima.
Para obter o preço da opção no no. 2, payoffs em 4 e 5 são usados. Para obter preços por não. 3, payoffs em 5 e 6 são usados. Por fim, os pagamentos calculados em 2 e 3 são usados ​​para obter preços em não. 1
Por favor, note que o nosso exemplo assume o mesmo fator para cima (e para baixo) mover em ambas as etapas - u (e d) são aplicadas de forma composta.
Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos:
Suponha que uma opção de venda com preço de exercício de US $ 110 atualmente está sendo negociada a US $ 100 e expirando em um ano. A taxa anual livre de risco é de 5%. O preço deverá aumentar 20% e diminuir 15% a cada seis meses.
Vamos estruturar o problema:
Aqui, u = 1,2 ed = 0,85, X = 100, t = 0,5.
usando acima da fórmula derivada de, obtemos q = 0.35802832.
valor da opção de venda no ponto 2,
Na condição de upup do P, o subjacente será = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 levando a P upup = zero.
Na condição P updn, o subjacente será = 100 * 1,2 * 0,85 = $ 102 levando a P updn = $ 8.
Na condição Pndnd, o subjacente será = 100 * 0,85 * 0,85 = $ 72,25 levando a Pndn = $ 37,75.
p 2 = 0,975309912 * (0,35802832 * 0 + (1-0,35802832) * 8) = 5,008970741.
Similarmente, p 3 = 0,975309912 * (0,35802832 * 8 + (1-0,35802832) * 37,75) = 26,42958924.
E, portanto, o valor da opção de venda, p 1 = 0,975309912 * (0,35802832 * 5,008970741 + (1-0,35802832) * 26,42958924) = US $ 18,29.
Da mesma forma, os modelos binomiais permitem interromper toda a duração da opção para mais etapas / níveis refinados. Usando programas de computador ou planilhas, pode-se trabalhar de trás para frente, um passo de cada vez, para obter o valor presente da opção desejada.
Vamos concluir com mais um exemplo envolvendo três etapas para a avaliação da opção binomial:
Suponha uma opção de venda de tipo europeu, com 9 meses de vencimento, com preço de exercício de US $ 12 e preço atual de US $ 10. Assuma a taxa livre de risco de 5% para todos os períodos. Assumindo a cada 3 meses, o preço subjacente pode subir 20% para cima ou para baixo, dando-nos u = 1,2, d = 0,8, t = 0,25 e árvore binomial de 3 passos.
Os números em vermelho indicam os preços subjacentes, enquanto os em azul indicam a recompensa da opção de venda.
Probabilidade de risco neutro q computa para 0,531446.
Usando o valor acima de q e valores de payoff em t = 9 meses, os valores correspondentes em t = 6 meses são calculados como:
Além disso, usando esses valores calculados em t = 6, os valores em t = 3 e depois em t = 0 são:
dando o valor atual da opção de venda como $ 2.18, que é bem próximo ao calculado usando o modelo de Black-Scholes ($ 2.3)
Embora o uso de programas de computador possa facilitar muitos desses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua sendo uma grande limitação dos modelos binomiais para o preço das opções. Quanto mais finos forem os intervalos de tempo, mais difícil será prever precisamente os payoffs no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar alterações conforme o esperado em diferentes períodos de tempo é um acréscimo adicional, o que o torna adequado para precificar as opções americanas, incluindo avaliações de exercício antecipado. Os valores calculados usando o modelo binomial são muito parecidos com os computados de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e precisão dos modelos binomiais para precificação de opções. Modelos binários de precificação podem ser desenvolvidos de acordo com a preferência do profissional e funcionam como uma alternativa ao Black-Scholes.